效率

到目前為止，所有的績效統計都考慮了利潤、損失和成本。在這一節中，我們會考慮到達成這些結果所涉及的風險。

夏普比率（The Sharpe Ratio）

假設一個策略的超額收益（超過無風險利率）${ r_t }_{t=1,...,T}$，是獨立同分佈（IID）的高斯分佈，均值為 $\mu$，方差為 $\sigma^2$。夏普比率（SR）定義為：

$$
SR = \frac{\mu}{\sigma}
$$

夏普比率（SR）的目的是評估一個特定策略的強度，可以理解為單位風險的報酬。由於 $\mu$、$\sigma$ 通常是未知的，因此真正的SR值不能確定地被知道。

機率性夏普比率（The Probabilistic Sharpe Ratio）

機率性夏普比率（PSR）通過移除：

1. 交易期短
2. 偏斜(投資大多數時間賺錢，但偶爾會有巨大的損失)

所造成的效應(可能會讓績效看起來很好或是風險很小)，來提供一個調整後的SR估計。給定一個用戶自定義的基準夏普比率（$SR^$）和一個觀察到的夏普比率（$\hat{SR}$），PSR估計$\hat{SR}$大於假設的$SR^$的機率。根據此論文，PSR可以估計為：

$$
\hat{PSR}[SR^] = Z \left[ \frac{(\hat{SR} - SR^) \sqrt{T - 1}}{\sqrt{1 - \hat{\gamma}_3 \hat{SR} + \frac{\hat{\gamma}_4 - 1}{4} \hat{SR}^2}} \right]
$$

其中，$Z[\cdot]$是標準正態分佈的累積分佈函數（CDF），$T$是觀察到的收益數量，$\hat{\gamma}_3$是收益的偏度，$\hat{\gamma}_4$是收益的峰度（對於高斯收益，$\hat{\gamma}_4 = 3$）。對於給定的$SR^*$，當$\hat{SR}$（在原始取樣頻率，即未年化）或更長的追蹤記錄（$T$）或正偏斜的收益（$\hat{\gamma}_3$）增加時，$\hat{PSR}$也會增加，但它會隨著更厚的尾部（$\hat{\gamma}_4$）而減少。也就是說機率性夏普比率（( \hat{PSR} )）會在策略表現好、有長期追蹤記錄或是收益正偏斜時增加，但如果策略的收益有厚尾特性（即更多的極端收益），則 ( \hat{PSR} ) 會減少。

總結一下，機率性夏普比率（PSR）是夏普比率的一個進階版本。這個指標考慮到一些夏普比率忽略的因素，如收益率的不正常分佈（例如，厚尾或偏斜）。試圖給出一個更貼近真實狀況的夏普比率數值。

偏度（Skewness）是用來衡量分布的偏斜程度的統計量。對於標準常態分布，偏度為0，表示分布呈現完全對稱。

峰度（Kurtosis）是用來衡量分布尾部厚度和峰度形狀的統計量。對於標準常態分布，峰度為3，表示分布的峰度與正態分布呈現相似的形狀，既不特別扁平也不特別尖峭。

衰減夏普比率（The Deflated Sharpe Ratio）

DSR考慮了多個因素，包括：

• 你嘗試過多少不同的策略（即獨立試驗的數量，$N$）
• 這些策略的夏普比率的變異性（即試驗估計的 $SR$ 的變異性，$V[{\hat{SR}_n}]$）

然後，DSR使用這些因素來調整一個“基準”夏普比率$( SR^*$）。這個基準夏普比率是一個應該超過的閾值，以證明策略真的有賺錢的能力。

DSR是一種PSR，其中拒絕閾值經過調整，以反映試驗的多樣性。根據此論文，DSR可以估計為 $\hat{PSR}[SR^]$，其中基準夏普比率 $SR^$ 不再是用戶自定義的。相反，$SR^*$ 的估計公式為：

$$
SR^* = \sqrt{V[{\hat{SR}_n}]} \left( (1-\gamma) Z^{-1}\left[1-\frac{1}{N}\right] + \gamma Z^{-1}\left[1-\frac{1}{N e^{-1}}\right] \right)
$$

其中，$V[{\hat{SR}_n}]$ 是試驗估計的 $SR$ 的變異性，$N$ 是獨立試驗的數量，$Z[\cdot]$ 是標準正態分佈的CDF，$\gamma$ 是Euler-Mascheroni常數，$n = 1, \ldots, N$。圖 14.3 繪製了 $SR^*$ 作為 $V[{\hat{SR}_n}]$ 和 $N$ 的函數。

DSR背後的基本邏輯是：給定一組 $SR$ 估計值 ({ \hat{SR}_n })，即使真正的 $SR$ 是零，其期望最大值也大於零。在實際夏普比率為零的虛無假設下，$H0 : SR = 0$，我們知道，期望的最大 $\hat{SR}$ 可以估計為 $SR^$。事實上，隨著嘗試更多的獨立試驗（$N$），或者試驗涉及更大的變異性（$V[{\hat{SR}_n}]$），$SR^$ 會迅速增加。由此知識我們推導出回測的第三定律。

** Marcos的回測第三定律。由於其違反，金融中的大多數發現都是假的**

“每個回測結果都必須與其生成過程中涉及的所有試驗一同報告。若沒有這些資訊，就無法評估回測的‘偽發現’概率。”
—Marcos Lopez de Prado
《金融機器學習的先進技術》（2018）